Question

已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，第n项之后各项a_n+1，a_n+2…的最小值记为B_n，d_n=A_n-B_n．
（Ⅰ）若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N^*，a_n+4=a_n），写出d₁，d₂，d₃，d₄的值；
（Ⅱ）设d是非负整数，证明：d_n=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列；
（Ⅲ）证明：若a₁=2，d_n=1（n=1，2，3，…），则{a_n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

Answer

（Ⅰ）根据条件以及dn=An-Bn 的定义，直接求得d1，d2，d3，d4的值．
（Ⅱ）设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n-1）d，从而证得dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．若dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．可得{an}是一个不减的数列，求得dn=An-Bn=-d，即 an+1-an=d，即{an}是公差为d的等差数列，命题得证．
（Ⅲ）若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项不能等于零，再用反证法得到{an}的项不能超过2，从而证得命题．
【解析】
（Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d1=A1-B1=2-1=1，
d2=A2-B2=2-1=1，d3=A3-B3=4-1=3，d4=A4-B4=4-1=3．
（Ⅱ）充分性：设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n-1）d，∴An=an=a1+（n-1）d，
Bn=an+1=a1+nd，∴dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．
必要性：若 dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．假设ak是第一个使ak-ak-1＜0的项，
则dk=Ak-Bk=ak-1-Bk≥ak-1-ak＞0，这与dn=-d≤0相矛盾，故{an}是一个不减的数列．
∴dn=An-Bn=an-an+1=-d，即 an+1-an=d，故{an}是公差为d的等差数列．
（Ⅲ）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项不能等于零，否则d1=2-0=2，矛盾．
而且还能得到{an}的项不能超过2，用反证法证明如下：
假设{an}的项中，有超过2的，设am是第一个大于2的项，则dm=Am-Bm=am-1＞1，这与已知dn=1相矛盾，故假设不对，
即{an}的项不能超过2，故{an}的项只能是1或者2．
下面用反证法证明{an}的项中，有无穷多项为1．
若ak是最后一个1，则 dk=Ak-Bk=2-2=0，矛盾，故{an}的项中，有无穷多项为1．
综上可得，{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．