Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁，∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，P是线段AD的中点．
（I）在平面ABC内，试做出过点P与平面A₁BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD₁A₁；
（II）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A-A₁M-N的余弦值．

Answer

（I）在平面ABC内过点P作直线l∥BC，根据线面平行的判定定理得直线l∥平面A1BC．由等腰三角形“三线合一”得到AD⊥BC，从而得到AD⊥l，结合AA1⊥l且AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线，证出直线l⊥平面ADD1A1；
（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF．根据面面垂直判定定理，证出平面A1MN⊥平面A1AE，
从而得到AE⊥平面A1MN，结合EF⊥A1M，由三垂线定理得AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A-A1M-N的平面角．设AA1=1，分别在Rt△A1AP中和△AEF中算出AE、AF的长，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义算出sin∠AFE的值，结合同角三角函数的平方关系算出cos∠AFE的值，从而得出二面角A-A1M-N的余弦值．
【解析】
（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC
∵直线l⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，
∴直线l∥平面A1BC，
∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l
∵AA1⊥平面ABC，l⊂平面ABC，∴AA1⊥l
∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线
∴直线l⊥平面ADD1A1；
（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF
由（I）知MN⊥平面A1AE，结合MN⊂平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE，
∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P，AE⊥A1P，∴AE⊥平面A1MN，
∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN内的射影，
∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A-A1M-N的平面角
设AA1=1，则由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1
又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=，AM=1
Rt△A1AP中，A1P==；Rt△A1AM中，A1M=
∴AE==，AF==
∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==
即二面角A-A1M-N的余弦值等于．