Question

已知函数，其中a是实数，设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的点，且x₁＜x₂．
（I）指出函数f（x）的单调区间；
（II）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值；
（III）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

Answer

（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；
（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得，即（2x1+2）（2x2+2）=-1．可得，再利用基本不等式的性质即可得出；
（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．
【解析】
（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．
（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，
∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），
∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，
∴，
∴（2x1+2）（2x2+2）=-1．
∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，
∴=1，当且仅当-（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．
∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值为1．
（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．
当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为
，即．
当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．
函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，
由①及x1＜0＜x2可得-1＜x1＜0，
由①②得=．
∵函数，y=-ln（2x1+2）在区间（-1，0）上单调递减，
∴a（x1）=在（-1，0）上单调递减，且x1→-1时，ln（2x1+2）→-∞，即-ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．
x1→0，a（x1）→-1-ln2．
∴a的取值范围是（-1-ln2，+∞）．