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定义在R上的f(x),满足f(m+n2)=f(m)+2[f(n)]2,m,n∈R...

定义在R上的f(x),满足f(m+n2)=f(m)+2[f(n)]2,m,n∈R,且f(1)≠0,则f(2012)的值为   
由已知利用赋值,令m=0,n=1结合f(1)≠0可求,令n=1可得,f(m+1)=f(m)+2[f(1)]2,可得f(m+1)-f(m)=,则f(m)是以f(1)=为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项可求 【解析】 ∵f(m+n2)=f(m)+2[f(n)]2,对于任意的m,n∈R都成立且f(1)≠0, 令m=n=0可得,f(0)=f(0)+2f2(0),则f(0)=0 令m=0,n=1可得f(1)=f(0)+2f2(1) ∵f(1)≠0 ∴ ∵f(m+n2)=f(m)+2[f(n)]2,对于任意的m,n∈R都成立 令n=1可得,f(m+1)=f(m)+2[f(1)]2,即f(m+1)-f(m)=2[f(1)]2= 由f(m+1)-f(m)=可得f(m)是以f(1)=为首项,以为公差的等差数列 由等差数列的通项公式可得,f(m)= ∴f(2012)=1006 故答案为:1006
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考点分析:
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