Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+1=pS_n+q（p，q为常数，n∈N^*），如果：a₁=2，a₂=1，a₃=q-3p．
（1）求p，q的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）是否存在正整数m，n，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．

Answer

（1）利用Sn+1=pSn+q，n取1，2，可得方程组，即可求p，q的值；
（2）利用和式，再写一式，两式相减，利用等比数列的通项公式，即可求数列{an}的通项公式；
（3）先求和，再化简不等式，确定m的取值，即可求得所有符合条件的有序实数对（m，n）．
【解析】
（1）由题意，知即，解之得…（4分）
（2）由（1）知，Sn+1=Sn+2，①
当n≥2时，Sn=Sn-1+2，②
①-②得，an+1=an（n≥2），…（6分）
又a2=a1，所以数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，
所以an=．…（8分）
（3）由（2）得，=，
由，得，即，…（10分）
即，
因为2m+1＞0，所以2n（4-m）＞2，
所以m＜4，且2＜2n（4-m）＜2m+1+4，①
因为m∈N*，所以m=1或2或3．…（12分）
当m=1时，由①得，2＜2n×3＜8，所以n=1；
当m=2时，由①得，2＜2n×2＜12，所以n=1或2；
当m=3时，由①得，2＜2n＜20，所以n=2或3或4，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．…（16分）