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如图,过抛物线C:y2=4x上一点P(1,-2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛...

manfen5.com 满分网如图,过抛物线C:y2=4x上一点P(1,-2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2
(1)求y1+y2的值;
(2)若y1≥0,y2≥0,求△PAB面积的最大值.
(1)确定,可得kPA=,,利用kPA=-kPB,即可求得y1+y2的值; (2)由(1)知,可得AB的方程,计算P到AB的距离,可得S△PAB的面积,再利用换元法,构造函数,即可求得S△PAB的最大值. 【解析】 (1)因为A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线C:y2=4x上, 所以,kPA=, 同理,依题有kPA=-kPB, 所以,所以y1+y2=4.   (4分) (2)由(1)知, 设AB的方程为,即,P到AB的距离为,, 所以 ==,(8分) 令y1-2=t,由y1+y2=4,y1≥0,y2≥0,可知-2≤t≤2., 因为为偶函数,只考虑0≤t≤2的情况, 记f(t)=|t3-16t|=16t-t3,f′(t)=16-3t2>0,故f(t)在[0,2]是单调增函数, 故f(t)的最大值为f(2)=24, 所以S△PAB的最大值为6.(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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