Question

已知圆C的方程为x²+y²+2x-7=0，圆心C关于原点对称的点为A，P是圆上任一点，线段AP的垂直平分线l交PC于点Q．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹L的方程；
（2）过点B（1，）能否作出直线l₂，使l₂与轨迹L交于M、N两点，且点B是线段MN的中点，若这样的直线l₂存在，请求出它的方程和M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由点Q是线段AP的垂直平分线l与CP的交点，可得|QP|=QA|．又，可得．利用椭圆的定义可知点Q的轨迹L为椭圆；
（2）假设直线l2存在，设M（x1，y1），N（x2，y2），分别代入，利用“点差法”、中点坐标公式及斜率公式即可得出直线l2的方程；与椭圆方程联立即可解得交点坐标．
【解析】
（1）如图，由已知圆C的方程x2+y2+2x-7=0，化为（x+1）2+y2=8，可得圆心C（-1，0），半径，点A（1，0）．
∵点Q是线段AP的垂直平分线l与CP的交点，∴|QP|=QA|．
又∵，∴．
∴点Q的轨迹是以O为中心，C，A为焦点的椭圆，
∵，∴，
∴点Q的轨迹L的方程为．
（2）假设直线l2存在，设M（x1，y1），N（x2，y2），分别代入得，
两式相减得，即．
由题意，得x1+x2=2，y1+y2=1，
∴，即kMN=-1．
∴直线l2的方程为．
由得6x2-12x+5=0．
∵点B在椭圆L内，
∴直线l2的方程为，它与轨迹L存在两个交点，
解方程6x2-12x+5=0得．
当时，；当时，．
所以，两交点坐标分别为和．