Question

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

Answer

（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x-2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2sin（2x-），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；
（II）根据x∈，得-≤2x-≤．再由正弦函数在区间[-，]上的图象与性质，可得f（x）在区间上的最大值为与最小值．
【解析】
（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）
∴f（x）=-sin（2x+）+6sinxcosx-2cos2x+1=-sin2x-cos2x+3sin2x-（1+cos2x）+1
=2sin2x-2cos2x=2sin（2x-）
因此，f（x）的最小正周期T==π；
（II）∵0≤x≤，∴-≤2x-≤
∴当x=0时，sin（2x-）取得最小值-；当x=时，sin（2x-）取得最大值1
由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=-2．