Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点．
（Ⅰ）证明B₁C₁⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B₁-CE-C₁的正弦值．
（Ⅲ）设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为，求线段AM的长．

Answer

（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1-CE-C1的正弦值可求；
（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．
（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，
依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．
则，
而=0．
所以B1C1⊥CE；
（Ⅱ）【解析】
，
设平面B1CE的法向量为，
则，即，取z=1，得x=-3，y=-2．
所以．
由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，
故为平面CEC1的一个法向量，
于是=．
从而==．
所以二面角B1-CE-C1的正弦值为．
（Ⅲ）【解析】
，
设 0≤λ≤1，
有．
取为平面ADD1A1的一个法向量，
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，
则=
=．
于是．
解得．所以．
所以线段AM的长为．