Question

设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若，求k的值．

Answer

（I）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．
（II）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由由消去y得，（2+3k2）x2+6kx+3k2-6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．
【解析】
（I）根据椭圆方程为．
∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，
∴=，
∵离心率为，∴=，
解得b=，c=1，a=．
∴椭圆的方程为；
（II）直线CD：y=k（x+1），
设C（x1，y1），D（x2，y2），
由消去y得，（2+3k2）x2+6kx+3k2-6=0，
∴x1+x2=-，x1x2=，又A（-，0），B（，0），
∴
=（x1+，y1）•（-x2．-y2）+（x2+，y2）•（-x1．-y1）
=6-（2+2k2）x1x2-2k2（x1+x2）-2k2，
=6+=8，解得k=．