Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ACB=90°，M为A₁B与AB₁的交点，N为棱B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面AA₁C₁C；
（2）若AC=AA₁，求证：MN⊥平面A₁BC．

Answer

（1）连接AC1，△AB1C1中可得MN是中位线，MN∥AC1，根据线面平行的判定定理，即可证出MN∥平面AA1C1C；
（2）直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°，可证出BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC1．正方形AA1C1C中，AC1⊥A1C，可得AC1⊥平面A1BC，最后结合MN∥AC1，可得MN⊥平面A1BC．
【解析】
 （1）连接AC1，
∵矩形AA1B1B中，M为A1B与AB1的交点，
∴M是AB1的中点，
又∵N为棱B1C1的中点，
∴△AB1C1中，MN是中位线，可得MN∥AC1，…（4分）
又∵AC1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，
∴MN∥平面AA1C1C．…（6分）
（2）∵矩形A1C1CA中，AC=AA1，
∴四边形AA1C1C是正方形，可得AC1⊥A1C，
又∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，
∴CC1⊥BC．
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴结合CC1∩AC=C，得BC⊥平面AA1C1C，
∵AC1⊆平面AA1C1C，∴BC⊥AC1，…（8分）
∵BC、A1C是平面A1BC内的相交直线，
∴AC1⊥平面A1BC
又∵MN∥AC1，∴MN⊥平面A1BC．…（14分）