Question

如图，ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．
（1）证明：MN∥平面A₁ACC₁；
（2）求二面角N-MC-A的正弦值．

Answer

（1）如图所示，取A1B1的中点P，连接MP，NP．利用三角形的中位线定理可得NP∥A1C1，MP∥B1B；再利用线面平行的判定定理可得NP∥平面A1ACC1；MP∥平面A1ACC1；利用面面平行的判定定理可得平面MNP∥平面A1ACC1；进而得到线面平行MN∥平面A1ACC1；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出．
【解析】
（1）如图所示，取A1B1的中点P，连接MP，NP．
又∵点M，N分别为A1B和B1C1的中点，∴NP∥A1C1，MP∥B1B，
∵NP⊂平面MNP，A1C1⊄平面MNP，∴NP∥平面A1ACC1；
同理MP∥平面A1ACC1；
又MP∩NP=P，
∴平面MNP∥平面A1ACC1；
∴MN∥平面A1ACC1；
（2）侧棱与底面垂直可得A1A⊥AB，A1A⊥AC，及AB⊥AC，可建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，2，2），N（1，1，2），M（1，0，1）．
∴=（-1，2，-1），=（1，-1，2），=（0，2，0）．
设平面ACM的法向量为=（x1，y1，z1），则，令x1=1，则z1=-1，y1=0．
∴=（1，0，-1）．
设平面NCM的法向量为=（x2，y2，z2），则，令x2=3，则y2=1，z2=-1．
∴=（3，1，-1）．
∴===．
设二面角N-MC-A为θ，则==．
故二面角N-MC-A的正弦值为．