Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1在x=3处的切线方程为y=5x-8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=ke^x恰有两个不同的实根，求实数k的值；
（3）数列{a_n}满足2a₁=f（2），，求的整数部分．

Answer

（1）把x=3代入切线方程，求出切点，把切点坐标代入二次函数得关于a，b方程，再由f′（3）=5得另一方程，联立求解a，b的值，则函数解析式可求；
（2）把（1）中求出函数f（x）的解析式代入方程f（x）=k ex，然后转化为k=e-x（x2-x+1），然后利用导数求函数g（x）=e-x（x2-x+1）的极值，根据函数g（x）的极值情况，通过画简图得到使方程k=e-x（x2-x+1），即方程f（x）=k ex恰有两个不同的实根时的实数k的值；
（3）由2a1=f（2）求出a1，结合求出a2，并判断出数列{an}为递增数列，进一步由得到，分别取n=1，2，…，代入后化简，则的整数部分可求．
【解析】
（1）由f（x）=a x2+bx+1，所以f′（x）=2ax+b，
因为函数f（x）=a x2+bx+1在x=3处的切线方程为y=5x-8，所以切点为（3，7）．
则，解得：a=1，b=-1．
所以f（x）=x2-x+1；
（2）由（1）知f（x）=x2-x+1，
关于x的方程f（x）=kex恰有两个不同的实根，
即x2-x+1=k•ex有两个不同的实根，也就是k=e-x（x2-x+1）有两个不同的实根．
令g（x）=e-x（x2-x+1），
则g′（x）=（2x-1）e-x-（x2-x+1）e-x
=-（x2-3x+2）e-x=-（x-1）（x-2）e-x
由g′（x）=0，得x1=1，x2=2．
所以当x∈（-∞，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，1）上为减函数；
当x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上为增函数；
当x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）上为减函数；
所以，当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=，当x=2时函数取得极大值g（2）=．
函数y=k与y=g（x）的图象的大致形状如下，

由图象可知，当k=和时，关于x的方程f（x）=kex恰有两个不同的实根；
（3）由2a1=f（2）=22-2+1=3，所以＞1，=．
又＞0，
所以an+1＞an＞1．
又，所以an+1-1=an（an-1），
则，即．
所以
=
===2＜2．
又S=．
故的整数部分等于1．