Question

在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：
①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；
②对任意a∈R，a⊕0=a；
③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）-2c．
函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

根据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．
【解析】
根据题意，得
f（x）=x⊕=（x⊕）⊕0=0⊕（x•）+（x⊕0）+（⊕0 ）-2×0=1+x+
即f（x）=1+x+
∵x＞0，可得x+≥2，当且仅当x==1，即x=1时等号成立
∴1+x+≥2+1=3，可得函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为f（1）=3
故选：B