Question

设△ABC，P是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（ ）
A．∠ABC=90°
B．∠BAC=90°
C．AB=AC
D．AC=BC

Answer

以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），然后由题意可写出，，，，然后由结合向量的数量积的 坐标表示可得关于x的二次不等式，结合二次不等式的知识可求a，进而可判断
【解析】
以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）
则BP=1，A（-2，0），B（2，0），P（1，0）
∴=（1，0），=（2-x，0），=（a-x，b），=（a-1，b）
∵恒有
∴（2-x）（a-x）≥a-1恒成立
整理可得x2-（a+2）x+a+1≥0恒成立
∴△=（a+2）2-4（a+1）≤0
即△=a2≤0
∴a=0，即C在AB的垂直平分线上
∴AC=BC
故△ABC为等腰三角形
故选D