Question

如图，点P（0，-1）是椭圆的一个顶点，C₁的长轴是圆的直径．l₁，l₂是过点P且互相垂直的两条直线，其中l₁交圆C₂于两点，l₂交椭圆C₁于另一点D
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）求△ABD面积取最大值时直线l₁的方程．

Answer

（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x，y）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx-1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．
【解析】
（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．
∴椭圆C1的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x，y）．
由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx-1．
又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．
∴|AB|==．
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，
∴．
∴三角形ABD的面积．
∴=，当且仅当时取等号，
故所求直线l1的方程为．