Question

椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则该椭圆的离心率等于    ．

Answer

由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而．
设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．
【解析】
如图所示，
由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．
设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．
∴该椭圆的离心率e=．
故答案为．