Question

如图，在四棱柱P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
（I）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P-ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（II）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
（III）求三棱锥D-PBC的体积．

Answer

（I）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，可得AE=CD=3．由勾股定理求得BE=3，可得AB=6．
由直角三角形中的边角关系求得PD=AD•tan60°的值，从而得到四棱锥P-ABCD的正视图．
（II）取PB得中点为N，证明MNCD为平行四边形，故DM∥CN．再由直线和平面平行的判定定理证得故DM∥平面PBC．
（III）根据三棱锥D-PBC的体积VD-PBC=VP-BCD=S△BCD•PD=（S梯形ABCD-S△ABD）•PD，运算求得结果．
【解析】
（I）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，∴AE=CD=3．
直角三角形BCE中，∵BC=5，CE=AD=4，由勾股定理求得BE=3，∴AB=6．
在直角三角形PAD中，∵∠PAD=60°，AD=4，∴PD=AD•tan60°=4，四棱锥P-ABCD的正视图如图所示：
（II）∵M为PA的中点，取PB得中点为N，则MN平行且等于AB，再由CD平行且等于AB，可得MN和CD平行且相等，
故MNCD为平行四边形，故DM∥CN．
由于DM 不在平面PBC内，而CN在平面PBC内，故DM∥平面PBC．
（III）三棱锥D-PBC的体积VD-PBC=VP-BCD=S△BCD•PD=（S梯形ABCD-S△ABD）•PD
=[-]×4=8．