Question

如图，AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中点，DE⊥面CBB₁．
（1）证明：DE∥面ABC；
（2）证明：面A₁B₁C⊥面A₁AC；
（3）求四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比．

Answer

（1）连结EO、OA，由圆柱的性质得四边形AA1B1B是平行四边形，所以DA∥BB1且DA=BB1．△B1BC中利用中位线定理，得到EO∥BB1且EO=BB1，从而证出四边形AOED是平行四边形，得DE∥OA，结合线面平行的判定定理即可证出DE∥面ABC；
（2）根据圆的性质得到AB⊥AC，结合AA1⊥AB得到AB⊥面A1AC，由AB∥A1B1得出A1B1⊥面A1AC，再根据面面垂直的判定定理，可得面A1B1C⊥面A1AC；
（3）由DE⊥面CBB1结合DE∥OA，得OA⊥面CBB1，从而AO⊥BC，结合结合垂直平分线的性质得到AC=AB．由线面垂直判定定理证出AC⊥平面AA1B1B，得AC为四棱锥C-ABB1A1的高．因此设圆柱高为h，底半径为r，可得四棱锥C-ABB1A1体积与圆柱OO1的体积关于h、r的表达式，即可算出四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比．
【解析】
（1）连结EO、OA，
∵E、O分别为B1C、BC的中点，∴EO∥BB1，EO=BB1
又∵AA1、BB1为圆柱OO1的母线，
∴AA1∥BB1、AA1=BB1，可得四边形AA1B1B是平行四边形，
∵平行四边形AA1B1B中，DA∥BB1，DA=BB1，
∴DA∥EO，且DA=EO
四边形AOED是平行四边形，可得DE∥OA
∵DE⊄面ABC，OA⊂面ABC，∴DE∥面ABC；…（4分）
（2）∵AA1、BB1为圆柱OO1的母线，
∴四边形AA1B1B是平行四边形，可得AB∥A1B1
∵AA1⊥圆O所在的平面，AB⊂圆O所在的平面，∴AA1⊥AB，
又∵BC是底面圆O的直径，∴AB⊥AC，
∵AC∩AA1=A，AC、AA1⊂面A1AC，AB⊥面A1AC，
∵AB∥A1B1，∴A1B1⊥面A1AC，
∵A1B1⊂面A1B1C，∴面A1B1C⊥面A1AC；…（9分）
（3）由题意，DE⊥面CBB1，由（1）知DE∥OA，
∴OA⊥面CBB1，∴结合BC⊂面CBB1，可得AO⊥BC，得AC=AB．
∵AB⊥AC且AA1⊥AC，AB、AA1是平面AA1B1B内的相交直线，
∴AC⊥平面AA1B1B，即AC为四棱锥C-ABB1A1的高．
设圆柱高为h，底半径为r，则V圆柱=πr2h，V四棱锥=（）•（）h=，
∴四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比为=．…（14分）