Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F₁（-1，0），且椭圆C的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A₁，A₂，Q是椭圆C上异于A₁，A₂的任一点，直线QA₁，QA₂分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题目给出的条件直接列关于a，b，c的方程组求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由椭圆方程求出椭圆上下顶点的坐标，设出椭圆上的动点Q，由直线方程的两点式写出直线QA1，QA2的方程，取y=0后得到OS和OT的长度，结合点Q在椭圆上整体化简运算可证出|OS|•|OT|为定值；
（3）假设存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大，由点M在椭圆上得到关于m和n的关系式，由点到直线的距离公式求出原点O到直线的距离，由圆中的半径，半弦长和弦心距之间的关系求出弦长，写出△OAB的面积后利用基本不等式求面积的最大值，利用不等式中等号成立的条件得到关于m和n的另一关系式，联立后可求解M的坐标．
【解析】
（1）由题意：，解得：
所以椭圆C：；
（2）由（1）可知，设Q（x，y），
直线QA1：，令y=0，得；     
直线QA2：，令y=0，得；
则，
而，所以，
所以；
（3）假设存在点M（m，n）满足题意，则，即．
设圆心到直线l的距离为d，则，且．
所以．
所以．
因为，所以，所以．
所以．
当且仅当，即时，S△OAB取得最大值．
由，解得．
所以或或或．
所以存在点M满足题意，点M的坐标为
或．
此时△OAB的面积为．