Question

设F₁，F₂是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂=30°的最小内角为30°，则C的离心率为    ．

Answer

利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．
【解析】
因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a
所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，
∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，
∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，
即4a2=4c2+16a2-2c×4a×，
∴c2-2ca+3a2=0，
∴c=a
所以e==．
故答案为：．