Question

过抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k₁，k₂的两条不同直线l₁，l₂，且k₁+k₂=2．l₁与E交于点A，B，l₂与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（I）若k₁＞0，k₂＞0，证明：；
（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．

Answer

（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；
（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．
【解析】
（I） 由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．
由，得．
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．
从而x1+x2=2pk1，．
所以点M的坐标为，．
同理可得点N的坐标为，．
于是．
由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．
故．
（Ⅱ）由抛物线的定义得，，
所以，从而圆M的半径．
故圆M的方程为，
化简得．
同理可得圆N的方程为
于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．
又k2-k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．
因为p＞0，所以点M到直线l的距离为
=．
故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．
故所求抛物线E的方程为x2=16y．