Question

已知a＞0，函数．
（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；
（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．
【解析】
（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，
∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；
当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．
①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=
②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增
∴g（a）=max{f（0），f（4）}
∵f（0）-f（4）==
∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，
综上所述，g（a）=；
（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；
当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在
两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=-1
∴•=-1
∴①
∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），
∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）
∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空
∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅
综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）．