Question

正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，点D是BC的中点，．设B₁D∩BC₁=F．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求证：BC₁⊥平面AB₁D．

Answer

（I）连结A1B，设A1B交AB1于E，连结DE．根据三角形的中位线定理，证出DE∥A1C，结合线面垂直的判定定理，即可得到
A1C∥平面AB1D；
（II）根据等边△ABC的中线，证出AD⊥BC，结合面面垂直的性质定理，证出AD⊥平面B1BCC1，从而得到AD⊥BC1．矩形B1C1CB中利用Rt△B1BD∽Rt△BCC1，证出BC1⊥B1D．最后根据线面垂直判定定理，即可证出BC1⊥平面AB1D．
【解析】
（Ⅰ）连结A1B，设A1B交AB1于E，连结DE．
∵△A1BC中，点D是BC的中点，点E是A1B的中点，
∴DE∥A1C．        …（3分）
∵A1C⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D．    …（6分）
（Ⅱ）∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∵平面ABC⊥平面B1BCC1，平面ABC∩平面B1BCC1=BC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥平面B1BCC1．
∵BC1⊂平面B1BCC1，∴AD⊥BC1．…（9分）
∵点D是BC中点，，∴．
由此可得：，
∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1，可得∠BDB1=∠BC1C．
∴∠FBD+∠BDF=∠C1BC+∠BC1C=90°
∴BC1⊥B1D，…（13分）
∵B1D∩AD=D，B1D、AD⊂平面AB1D，
∴BC1⊥平面AB1D．       …（15分）