Question

已知函数f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer

（I）把a=1代入函数，利用导数判断出函数的单调性，进而可求出函数f（x）极值；
（II）求导函数，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间．
【解析】
（I）当a=1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞），
∴f′（x）=-2x+1=-
令f'（x）=0，即-=0，解得x=-或x=1．
∵x＞0，∴x=-舍去．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，其值为f（1）=ln1-12+1=0；无极小值．
（II）f′（x）=-2a2x+a==
若a=0，f′（x）=＞0，∴函数的单调递增区间为（0，+∞）
若a≠0，令f′（x）==0，∴x1=-，x2=
当a＞0时，函数在区间（0，），f′（x）＞0，函数为增函数；在区间（，+∞），f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数的单调递增区间为（0，），函数的单调递减区间为（，+∞）
当a＜0时，函数在区间（0，-），f′（x）＞0，函数为增函数；在区间（-，+∞），f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数的单调递增区间为（0，-），函数的单调递减区间为（-，+∞）．