Question

已知函数f（x）=x²+x，当x∈[n，n+1]（n∈N₊）时，f（x）的值中所有整数值的个数记为g（n）．
（Ⅰ）求g（2）的值，并求g（n）的表达式；
（Ⅱ）设a_n=（n∈N₊），求数列{（-1）^n-1a_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设b_n=，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N₊），若对任意的n∈N₊，都有S_n＜L（L∈Z）成立，求L的最小值．

Answer

（Ⅰ）当n=2时，f（x）在[2，3]上递增，由此可求g（2）的值，利用函数的单调性，即可求g（n）的表达式；
（Ⅱ）确定数列的通项，利用n是奇数、偶数分类讨论，分组求和，即可数列{（-1）n-1an}的前n项和Tn；
（Ⅲ）确定数列的通项，利用错位相消法求出Sn，即可求L的最小值．
【解析】
（Ⅰ）当n=2时，f（x）在[2，3]上递增，
所以6≤f（x）≤12，所以g（2）=7．----------------------------（2分）
因为f（x）在[n，n+1]（n∈N+）上单调递增，
所以，n2+n≤f（x）≤（n+1）2+（n+1）=n2+3n+2，
从而g（n）=（n2+3n+2）-（n2+n）+1=2n+3．------------------（4分）
（Ⅱ）因为an===n2，-------------------（5分）
所以Tn=a1-a2+a3-a4+…+（-1）n-1an=12-22+…+（-1）n-1n2．----------------------------（6分）
当n是偶数时，Tn=-[1+2+3+4+…+（n-1）+n]=-；-----------------（8分）
当n是奇数时，Tn=12-22+…+[（n-2）2-（n-1）2]+n2=-------（10分）
（Ⅲ）bn==，-----------------------------------（11分）
∴Sn=b1+b2+…+bn=+…++，
∴Sn=+…++，
错位相减得Sn=+…+）-，-----------（12分）
所以，Sn=7-．---------------------------------------（13分）
因为Sn=7-＜7，
所以若对任意的n∈N+，都有Sn＜L（L∈Z）成立，则L≥7，
所以，L的最小值为7．----------------------------------------（14分）