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已知函数f(x)=x2+x,当x∈[n,n+1](n∈N+)时,f(x)的值中所...

已知函数f(x)=x2+x,当x∈[n,n+1](n∈N+)时,f(x)的值中所有整数值的个数记为g(n).
(Ⅰ)求g(2)的值,并求g(n)的表达式;
(Ⅱ)设an=manfen5.com 满分网(n∈N+),求数列{(-1)n-1an}的前n项和Tn
(Ⅲ)设bn=manfen5.com 满分网,Sn=b1+b2+…+bn(n∈N+),若对任意的n∈N+,都有Sn<L(L∈Z)成立,求L的最小值.
(Ⅰ)当n=2时,f(x)在[2,3]上递增,由此可求g(2)的值,利用函数的单调性,即可求g(n)的表达式; (Ⅱ)确定数列的通项,利用n是奇数、偶数分类讨论,分组求和,即可数列{(-1)n-1an}的前n项和Tn; (Ⅲ)确定数列的通项,利用错位相消法求出Sn,即可求L的最小值. 【解析】 (Ⅰ)当n=2时,f(x)在[2,3]上递增, 所以6≤f(x)≤12,所以g(2)=7.----------------------------(2分) 因为f(x)在[n,n+1](n∈N+)上单调递增, 所以,n2+n≤f(x)≤(n+1)2+(n+1)=n2+3n+2, 从而g(n)=(n2+3n+2)-(n2+n)+1=2n+3.------------------(4分) (Ⅱ)因为an===n2,-------------------(5分) 所以Tn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n-1an=12-22+…+(-1)n-1n2.----------------------------(6分) 当n是偶数时,Tn=-[1+2+3+4+…+(n-1)+n]=-;-----------------(8分) 当n是奇数时,Tn=12-22+…+[(n-2)2-(n-1)2]+n2=-------(10分) (Ⅲ)bn==,-----------------------------------(11分) ∴Sn=b1+b2+…+bn=+…++, ∴Sn=+…++, 错位相减得Sn=+…+)-,-----------(12分) 所以,Sn=7-.---------------------------------------(13分) 因为Sn=7-<7, 所以若对任意的n∈N+,都有Sn<L(L∈Z)成立,则L≥7, 所以,L的最小值为7.----------------------------------------(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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