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已知函数f(x)=xlnx. (Ⅰ)求f(x)的最小值; (Ⅱ)若对所有x≥1都...

已知函数f(x)=xlnx.
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.
(1)先求出函数的定义域,然后求导数,根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值. (2)将f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立转化为不等式对于x∈[1,+∞)恒成立,然后令,对函数g(x)进行求导,根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值,使得a小于等于这个最小值即可. 【解析】 (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导数f'(x)=1+lnx. 令f'(x)>0,解得;令f'(x)<0,解得. 从而f(x)在单调递减,在单调递增. 所以,当时,f(x)取得最小值. (Ⅱ)依题意,得f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立, 即不等式对于x∈[1,+∞)恒成立. 令, 则. 当x>1时, 因为, 故g(x)是(1,+∞)上的增函数, 所以g(x)的最小值是g(1)=1, 从而a的取值范围是(-∞,1].
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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