Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，点M是SC的中点，且SA=AB=BC=1，AD=．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求证：DM∥平面SAB；
（3）求直线SC和平面SAB所成的角的正弦值．

Answer

（1）先证明侧棱SA⊥底面ABCD，再求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）取SB的中点N，证明四边形MNAD是平行四边形，利用线面平行的判定定理证明DM∥平面SAB；
（3）证明∠BSC是直线SC和平面SAB所成的角，在Rt△SBC中，即可求解．
（1）【解析】
∵AB⊥底面SAD，SA⊂底面SAD，AD⊂底面SAD
∴AB⊥SA，AB⊥AD
∵SA⊥CD，AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线
∴侧棱SA⊥底面ABCD
∴四棱锥S-ABCD的体积为××（+1）×1×1=；
（2）证明：取SB的中点N，则
∵点M是SC的中点，∴MN∥BC，MN=BC
∵底面是直角梯形，BC=1，
∴AD∥BC且AD=BC
∴MN∥AD且MN=AD
∴四边形MNAD是平行四边形
∴DM∥AN
∵DM⊄平面SAB，AN⊂平面SAB
∴DM∥平面SAB；
（3）【解析】
∵侧棱SA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴BC⊥SA
∵AB⊥BC，AB、SA是平面SAB内的两条相交直线
∴BC⊥平面SAB，垂足是点B
∴SB是SC在平面SAB内的射影，BC⊥SB
∴∠BSC是直线SC和平面SAB所成的角
∵在Rt△SBC中，BC=1，SB=，∴SC=
∴sin∠BSC==
∴直线SC和平面SAB所成的角的正弦值是．