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如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,SA⊥CD,A...

如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,SA⊥CD,AB⊥平面SAD,点M是SC的中点,且SA=AB=BC=1,AD=manfen5.com 满分网
(1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)求证:DM∥平面SAB;
(3)求直线SC和平面SAB所成的角的正弦值.

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(1)先证明侧棱SA⊥底面ABCD,再求四棱锥S-ABCD的体积; (2)取SB的中点N,证明四边形MNAD是平行四边形,利用线面平行的判定定理证明DM∥平面SAB; (3)证明∠BSC是直线SC和平面SAB所成的角,在Rt△SBC中,即可求解. (1)【解析】 ∵AB⊥底面SAD,SA⊂底面SAD,AD⊂底面SAD ∴AB⊥SA,AB⊥AD ∵SA⊥CD,AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线 ∴侧棱SA⊥底面ABCD ∴四棱锥S-ABCD的体积为××(+1)×1×1=; (2)证明:取SB的中点N,则 ∵点M是SC的中点,∴MN∥BC,MN=BC ∵底面是直角梯形,BC=1, ∴AD∥BC且AD=BC ∴MN∥AD且MN=AD ∴四边形MNAD是平行四边形 ∴DM∥AN ∵DM⊄平面SAB,AN⊂平面SAB ∴DM∥平面SAB; (3)【解析】 ∵侧棱SA⊥底面ABCD,BC⊂底面ABCD,∴BC⊥SA ∵AB⊥BC,AB、SA是平面SAB内的两条相交直线 ∴BC⊥平面SAB,垂足是点B ∴SB是SC在平面SAB内的射影,BC⊥SB ∴∠BSC是直线SC和平面SAB所成的角 ∵在Rt△SBC中,BC=1,SB=,∴SC= ∴sin∠BSC== ∴直线SC和平面SAB所成的角的正弦值是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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