Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-2x+7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（2）令b_n=，其中n∈N^*，求{nb_n}的前n项和．

Answer

（1）先确定函数y=f（x）的解析式，利用点均在函数y=f（x）的图象上，求出Sn，进而可求数列{an}的通项公式及Sn的最大值；
（2）先确定{nbn}的通项，利用错位相减法可求前n项和．
【解析】
（1）∵函数f（x）=ax2+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-2x+7，
∴f（x）=-x2+7x
∵点均在函数y=f（x）的图象上
∴
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2n+8，
∵
∴n=3或4时，Sn的最大值为12；
（2）bn==2-n+4，∴nbn=n•2-n+4=16n•
∴{nbn}的前n项和为Sn=16（1•+2•+…+n•）
∴Sn=16[1•+…+（n-1）•+n•]
∴两式相减可得Sn=16（++…+-n•）=16（1--n•）
∴Sn=32（1--n•）