Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（Ⅰ）求证：DA⊥平面PAB；
（Ⅱ） 求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer

（1）由∠PBC=90°得BC⊥PB，又BC⊥AB，故BC⊥平面PAB，因为AD∥BC，故AD⊥平面PAB，故平面PAD⊥平面PAB；
（2）过点P作平面ABCD的垂线，垂足为H，连接CH，可证得∠PCH为PC与底面ABCD所成的角，在直角三角形PAH，直角三角形BCH，直角三角形PCH中分别求得PH，CH，PC的长，即可求得直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为．
【解析】
（Ⅰ）平面PAD⊥平面PAB
∵∠PBC=90°∴BC⊥PB
∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形∴BC⊥AB
∵PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，且PB∩AB=B
∴BC⊥平面PAB
∵AD∥BC
∴AD⊥平面PAB
∵AD⊂平面PAD
∴平面PAD⊥平面PAB．
（Ⅱ）如图，过点P作BA延长线的垂线PH，垂足为H，连接CH．
由（Ⅰ）可知AD⊥平面PAB
∵AD⊂平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD
∵PH⊂平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB
∴PH⊥平面ABCD
∴CH为PC在平面ABCD内的射影．
∴∠PCH为PC与底面ABCD所成的角．
∵∠PAB=120°
∴∠PAH=60°
∵PA=1
∴在直角三角形PAH中，PH=PA×sin60°=，AH=PA×cos60°=
在直角三角形HBC中，BH=AH+AB=，BC=AD=1
故CH=
在直角三角形PHC中，PC=
∴
故直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为