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已知manfen5.com 满分网为平面内的两个定点,动点P满足|PF1|+|PF2|=4,记点P的轨迹为曲线Γ.
(Ⅰ)求曲线Γ的方程;
(Ⅱ)判断原点O关于直线x+y-1=0的对称点R是否在曲线Γ包围的范围内?说明理由.
(注:点在曲线Γ包围的范围内是指点在曲线Γ上或点在曲线Γ包围的封闭图形的内部)
(Ⅲ)设点O为坐标原点,点A,B,C是曲线Γ上的不同三点,且manfen5.com 满分网.试探究:直线AB与OC的斜率之积是否为定值?证明你的结论.
(I)利用椭圆的定义可知:点P的轨迹是以为焦点,4为长轴长的椭圆. 据此即可求出. (II)解法一:设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R(m,n),利用点关于直线的对称点的性质得,解出即可得到点R的坐标,判定是否满足在椭圆内部的条件即可; 解法二:设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R(m,n),利用点关于直线的对称点的性质得:,解得即R(1,1).得出直线OR的方程:y=x.与椭圆的方程联立求出其交点G,H,判断点R是否在线段GH上即可; (Ⅲ)解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).利用得x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0.可设直线AB的方程为y=kx+n(k≠0),代入并整理得:(1+2k2)x2+4knx+2n2-4=0,满足△>0,即可得到根与系数的关系,进而得到点C的坐标,利用斜率计算公式即可判断直线AB与OC的斜率之积是否定值; 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).利用得x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0.因为点A(x1,y1),B(x2,y2),在椭圆上,所以有:,,再利用“点差法”即可判断出结论. 【解析】 (Ⅰ)由条件可知,点P到两定点的距离之和为定值4, 所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆.  又,所以. 故所求方程为. (Ⅱ)解法一:设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R(m,n),由点关于直线的对称点的性质得:,解得即R(1,1). 此时, ∴R在曲线Γ包围的范围内. 解法二:设原点O关于直线x+y-1=0的对称点为R(m,n), 由点关于直线的对称点的性质得:,解得即R(1,1). ∴直线OR的方程:y=x. 设直线OR交椭圆于G和H, 由 得:或即,. 显然点R在线段GH上. ∴R在曲线Γ包围的范围内. (Ⅲ)解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3). 由得x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0. 可设直线AB的方程为y=kx+n(k≠0),代入并整理得:(1+2k2)x2+4knx+2n2-4=0, 依题意,△>0,则,y1+y2=k(y1+y2)+2n=, 从而可得点C的坐标为,. 因为. 所以直线AB与OC的斜率之积为定值. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3). 由得x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0. 因为点A(x1,y1),B(x2,y2),在椭圆上,所以有:, 两式相减,整理得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0, 从而有. 又x1+x2=-x3,y1+y2=-y3,,. 因为. 所以直线AB与OC的斜率之积为定值.
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考点分析:
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