Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（Ⅰ） 当a=-1时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ） 讨论f（x）在区间（0，e）上的单调情况；
（Ⅲ）试推断方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x是否有实数解．若有实数解，请求出它的解集．

Answer

（Ⅰ）由题意，对函数f（x）=x+lnx求导数，研究出函数在定义域上的单调性，判断出最大值，即可求出；
（II）由于函数f（x）=ax+lnx系数中带有参数a，可先求导，对参数a的取值范围进行讨论，确定出区间（0，e）上的单调情况；
（III）由于函数的定义域是正实数集，故方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x可变为|x-lnx|=，再分别研究方程两边对应函数的性质，即可作出判断．
【解析】
（Ⅰ） 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+…（1分）
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数…（3分）
∴f（x）max=f（1）=-1…（4分）
（Ⅱ）∵f′（x）=a+，x∈（0，e），∈…（5分）
①若a≥，则f′（x）＞0，从而f（x）在（0，e）上增函数…（6分）
②若a＜，则由f′（x）＞0＞0，即0＜x＜
由f′（x）＜0＜0，即＜x＜e．…（7分）
∴f（x）在上增函数，在为减函数…（8分）
综合上面得：当a≥时，f（x）在（0，e）上增函数；当a＜时，f（x）在上增函数，在为减函数．
（Ⅲ）|2x（x-lnx）|=2lnx+x⇔|x-lnx|=…（9分）
由（Ⅰ）知当a=-1时f（x）max=f（1）=-1，即-x+lnx≤-1
∴|x-lnx|≥1…（10分）
又令g（x）=，g′（x）=，
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；令g′（x）＜0，得x＞e
∴g（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）
∴g（x）max=g（e）=＜1，∴g（x）＜1…（12分）
∴|x-lnx|＞g（x），即|x-lnx|＞…（13分）
∴方程|x-lnx|=即方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x没有实数解．…（14分）