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设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知. (1)求数列{an}的通项公式; (...

设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知manfen5.com 满分网
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等差数列(如:在a1与a2之间插入1个数构成第一个等差数列,其公差为d1;在a2与a3之间插入2个数构成第二个等差数列,其公差为d2,…以此类推),设第n个等差数列的和是An.是否存在一个关于n的多项式g(n),使得An=g(n)dn对任意n∈N*恒成立?若存在,求出这个多项式;若不存在,请说明理由;
(3)对于(2)中的数列d1,d2,d3,…,dn,…,这个数列中是否存在不同的三项dm,dk,dp(其中正整数m,k,p成等差数列)成等比数列,若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.
(1)n≥2时,由an+1=2Sn+2,再写一式,两式相减,即可求得数列{an}的通项公式; (2)先求得dn,从而可得第n个等差数列的和An,由此可得结论; (3)利用反证法.假设在数列{dn}中存在dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列,由此可得m=k=p这与题设矛盾. 【解析】 (1)n≥2时,由an+1=2Sn+2,得an=2Sn-1+ 两式相减可得:an+1-an=2an,∴an+1=3an,即数列{an}的公比为3 ∵n=1时,a2=2S1+2,∴3a1=2a1+2,解得a1=2, ∴an=2×3n-1; (2)由(1)知an=2×3n-1,an+1=2×3n, 因为an+1=an+(n+1)dn,所以dn= 第n个等差数列的和是An=(n+2)an+×=4(n+2)×3n-1=(n+2)(n+1)dn, ∴存在一个关于n的多项式g(n)=(n+2)(n+1),使得An=g(n)dn对任意n∈N*恒成立; (3)假设在数列{dn}中存在dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列 则dk2=dmdp,即()2=× 因为m,k,p成等差数列,所以m+p=2k① 上式可以化简为k2=mp② 由①②可得m=k=p这与题设矛盾 所以在数列{dn}中不存在三项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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