Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，，E是线段AB的中点．
（1）求证：PE⊥CD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）试问线段PB上是否存在点F，使二面角C-DE-F的余弦值为？若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．

Answer

（1）利用线面垂直的性质可得AD⊥PE，利用等边三角形的性质可得：PE⊥AB．利用线面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．利用线面垂直的性质即可得出；
（2）利用（1）可知：PE是四棱锥P-ABCD的高．再利用三棱锥的体积计算公式即可得出；
（3）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出．
（1）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，
所以AD⊥PE．
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，
所以PE⊥AB．
因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．
而CD⊂平面ABCD，所以PE⊥CD．                    
（2）【解析】
由（1）知PE⊥平面ABCD，所以PE是四棱锥P-ABCD的高．
由DA=AB=2，，可得BC=1．
因为△PAB是等边三角形，可求得．
所以．
（3）【解析】
以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．则A（0，1，0），E（0，0，0），B（0，-1，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，）．
设，
则．
设=（x，y，z）为平面DEF的法向量，，

所以．
设平面CDE的法向量为=（0，0，1）．
．
化简得3λ2+2λ-1=0．
解得．
所以存在点F，且．