Question

直线相交于点P．直线l₁与x轴交于点P₁，过点P₁作x轴的垂线交直线l₂于点Q₁，过点Q₁作y轴的垂线交直线l₁于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交直线l₂于点Q₂，…，这样一直作下去，可得到一系列点P₁，Q₁，P₂，Q₂，…，点P_n（n=1，2，…）的横坐标构成数列{x_n}．
（1）当k=2时，求点P₁，P₂，P₃的坐标并猜出点P_n的坐标；
（2）证明数列{x_n-1}是等比数列，并求出数列{x_n}的通项公式；
（3）比较的大小．

Answer

（1）根据直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，可得点P1，P2，P3的坐标，从而猜出点Pn的坐标；
（2）确定Qn，Pn+1的坐标，利用Pn+1在直线l1上，对其变形，即可证得结论；
（3）求出P的坐标，表示出与，分类讨论，即可得到结论．
（1）【解析】
由题意可，可猜得．…（4分）
（2）证明：设点Pn的坐标是（xn，yn），由已知条件得点Qn，Pn+1的坐标分别是：．
由Pn+1在直线l1上，得．
所以，即
所以数列{xn-1}是首项为x1-1，公比为的等比数列．
由题设知 ，
从而，∴．…（9分）
（3）【解析】
由得点P的坐标为（1，1）．
所以，．
（i）当，即或时，＞1+9=10，
而此时，∴，
∴．
（ii）当，∴时，＜1+9=10．
而此时，∴，
∴．…（14分）