Question

如图，抛物线C₁：x²=4y，C₂：x²=-2py（p＞0），点M（x，y）在抛物线C₂上，过M作C₁的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x=1-时，切线MA的斜率为-．
（I）求P的值；
（II）当M在C₂上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．

Answer

（I）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．
（II）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程
【解析】
（I）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为-，所以A点的坐标为（-1，），故切线MA的方程为y=-（x+1）+
因为点M（1-，y）在切线MA及抛物线C2上，于是
y=-（2-）+=-     ①
y=-=-          ②
由①②解得p=2
（II）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=  ③，y==    ④
切线MA，MB的方程为y=（x-x1）+，⑤；y=（x-x2）+⑥，
由⑤⑥得MA，MB的交点M（x，y）的坐标满足x=，y=
因为点M（x，y）在C2上，即x2=-4y，所以x1x2=-⑦
由③④⑦得x2=y，x≠0
当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y
因此中点N的轨迹方程为x2=y