Question

已知f（x）=2sin（），集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一行，得到数列{a_n}（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1=b_n+a_2ⁿ，求{b_n}的通项公式．

Answer

（1）利用|f（x）|=|2sin（）|=2，求出M，可得数列{an}组成以1为首项，公差为3的等差数列，从而可得数列{an}的通项公式；
（2）利用叠加法，结合等比数列的求和公式，即可求{bn}的通项公式．
【解析】
（1）由|f（x）|=|2sin（）|=2，得sin（）=±1
∴=
∴x=3k+1，k∈Z
∴M={x|x=3k+1，k∈N}，
∵把M中的元素从小到大依次排成一行，得到数列{an}（n∈N*）．
∴a1=1，a2=4，a3=7，…，依次组成公差为3的等差数列，
∴an=3n+2；
（2）当n≥2时，bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
=++…++b1
=3（2n-1+2n-2+…+2）-2（n-1）+1
=3•-2（n-1）+1
=3•2n-2n-3
验证，当n=1时，上式也成立
∴bn=3•2n-2n-3