Question

已知圆C₁：x²+y²=2和圆C₂，直线l与C₁切于点M（1，1），圆C₂的圆心在射线2x-y=0（x≥0）上，且C₂经过坐标原点，如C₂被l截得弦长为．
（1）求直线l的方程；
（2）求圆C₂的方程．

Answer

（1）欲求切线的方程，关键是求出切线的斜率，由直线OM的斜率可得切线l的斜率，最后利用点斜式写出直线l的方程．
（2）先根据圆C2的圆心在射线2x-y=0（x≥0）上，故设圆C2的圆心（a，2a），（a＞0）．C2经过坐标原点，可设圆C2的方程设为：（x-a）2+（y-2a）2=5a2，利用数形结合求得C2被l截得弦长建立关于a的方程，从而求得a值即得．
【解析】
（1）直线OM的斜率为：=1，
∴切线l的斜率k=-1，
直线l的方程：y-1=-（x-1）
即x+y-2=0．即为直线l的方程．
（2）∵圆C2的圆心在射线2x-y=0（x≥0）上
∴设圆C2的圆心（a，2a），（a＞0）．
且C2经过坐标原点，
∴圆C2的方程设为：（x-a）2+（y-2a）2=5a2，
圆心（a，2a）到直线l的距离为：d=
∴C2被l截得弦长为：2×=，
即⇒a=2或a=-14（负值舍去）
∴圆C2的方程：（x-2）2+（y-4）2=20．