Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18；数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+b_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）设an的公差为d，根据等差数列通项公式根据a2=6，a5=18可求得a1和d，进而可求得数列{an}的通项公式；
（2）先看当n≥2时根据Tn-Tn-1=bn，可得bn与bn-1的关系式整理的，进而可知为等比数列，最后验证n=1时，也成立．原式得证．
（3）由（2）可求得数列{bn}的通项公式，进而可得{cn}的通项公式．数列{cn}由等差数列和等比数列构成，进而可用错位将减法求和．
【解析】
（1）设an的公差为d，则：a2=a1+d，a5=a1+4d，
∵a2=6，a5=18，∴，∴a1=2，d=4．
∴an=2+4（n-1）=4n-2．
（2）当n=1时，b1=T1，由，得．
当n≥2时，∵，，
∴，即
∴．
bn是以为首项，为公比的等比数列．
（3）由（2）可知：．
∴=．
Sn=c1+c2+…cn-1+cn=
∴．
∴=
=
=
∴