Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），数列{a_n}满足（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，a₁=2，
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}中最大项．

Answer

（I）将an代入函数f（x）与g（x）的解析式化简得（an-1）[10×（an+1-an）+an-1]=0，两边除以an-1，得10（an+1-1）=9（an-1），而a1-1=1，{an-1}就是首项为1，公比为的等比数列，从而可求得an-1，进而得到an．
（Ⅱ）求出bn的通项公式，然后研究{bn}的单调性，从而求出n取何值时，bn取最大值，以及最大值；
【解析】
（I）由方程（an+1-an）g（an）+f（an）=0，
得：（an+1-an）×10×（an-1）+（an-1）2=0，
整理得（an-1）[10×（an+1-an）+an-1]=0；
显然由a1=2，知{an}显然不是常数列，且不等于1，所以两边除以an-1；
得10×（an+1-an）+an-1=0，整理后得：10（an+1-1）=9（an-1），
a1-1=1，则{an-1}就是首项为1，公比为的等比数列．
所以an-1=，；
（Ⅱ）将an-1=（）n-1代入bn=（n+2）（an-1），得bn=（）n×（n+2）．
bn+1-bn=（）n+1×（n+3）-（）n×（n+2）=（）n×．
∴{bn}在[1，7]上单调递增，在[8，+∞）上单调递减，
∴当n取7或8时bn取最大值，最大值为9×（）7．