Question

某电视台举办有奖竞答活动，活动规则如下：①每人最多答4个小题；②答题过程中，若答对则继续答题，答错则停止答题；③答对每个小题可得10分，答错得0分．甲、乙两人参加了此次竞答活动，且相互之间没有影响．已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概为．
（I）设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙最后得分之和为20分的概率．

Answer

（I）X的可能取值为：0，10，20，30，40，分别求得各自对应的概率，可得分布列，进而可得的期望；（Ⅱ）设“甲、乙最后得分之和为20分”为事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”为事件B，“甲恰好得10分且乙恰好得10分”为事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”为事件D，可得事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，分别求得概率，由概率的加法公式可得答案．
【解析】
（I）X的可能取值为：0，10，20，30，40，
P（X=0）=1-=，P（X=10）==，
P（X=20）==，P（X=30）==，
P（X=40）==，故X的分布列如下：
X 10 20 30 40
P

故所求的数学期望EX==；
（Ⅱ）设“甲、乙最后得分之和为20分”为事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”为事件B，
“甲恰好得10分且乙恰好得10分”为事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”为事件D，
则事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，
又P（B）==，P（C）==，P（D）==，
故P（A）=P（B+C+D）==