Question

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E，F分别在BC，AD上，且E为BC中点，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使二面角A-EF-D等于60°．
（I）设这P为AD的中点，求证：CP∥平面ABEF；
（Ⅱ）求直线AF与平面ACD所成角的正弦值．

Answer

（I）取AF中点Q，连接EQ、PQ，利用三角形中位线定理结合已知条件证出四边形PQEC是平行四边形，可得CP∥EQ，再由线面平行的判定定理，即可得到CP∥平面ABEF；
（II）根据折叠后仍有EF⊥AF且EF⊥FD，可得EF⊥平面ADF且∠AFD就是二面角A-EF-D的平面角．过A作AO⊥FD于O，平面CDFE内作OG∥EF交EC于G，可得直线OG、OD、OA两两互相垂直．因此分别以OG、OD、OA所在直线为x、y、z轴，建立如图所示坐标系．算出F、A、D、C各点的坐标，从而得到向量、和的坐标，根据垂直向量数量积为零，建立方程组算出平面ACD的一个法向量为=（1，1，），用夹角公式算出、夹角的余弦，最后根据直线与平面所成角的性质，得到、夹角余弦的绝对值即为直线AF与平面ACD所成角的正弦值．
【解析】
（I）取AF中点Q，连接EQ、PQ
∵QP是△ADF的中位线，∴QP=DF且QP=，
又∵EC∥DF且EC=DF，
∴QP∥EC且QP=EC，可得四边形PQEC是平行四边形，
可得CP∥EQ
∵CP⊄平面ABEF，EQ⊂平面ABEF，∴CP∥平面ABEF；
（II）根据题意，折叠后仍有EF⊥AF，EF⊥FD
∴∠AFD就是二面角A-EF-D的平面角，∠AFD=60°
∵AF、FD是平面ADF内的相交直线，∴EF⊥平面ADF．
∵AO⊂平面ADF，∴AO⊥EF，
过A作AO⊥FD于O，
∵EF、FD是平面CDFE内的相交直线，∴AO⊥平面CDFE，
在平面CDFE内，作OG∥EF交EC于G，则OG⊥FD，OG⊥AO
分别以OG、OD、OA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示
Rt△AOF中，AF=2，∠AF0=60°，则FO=1，OA=，
∴F（0，-1，0），A（0，0，），D（0，3，0），C（2，1，0）
可得=（0，-1，-），=（0，3，-），=（-2，2，0）
设平面ACD的一个法向量为=（x，y，z），则
取z=，得x=y=1，可得=（1，1，），
∵cos==-，
∴设直线AF与平面ACD所成角为α，则sinα=|cos|=
即直线AF与平面ACD所成角的正弦值是．