Question

已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小；
（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由．

Answer

（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，求得 S梯形BCED 的值，再由此几何体的体积V=•S梯形BCED•AC，运算求得结果．
（2）建立空间直角坐标系，求得 、的坐标，可得  的值以及||和||的值，再由两个向量的夹角公式求得两个向量 和夹角的余弦值，再取绝对值，即得所求．
（3）由题意可得存在λ（0＜λ＜1）使得，根据，求得结果，同理求得．再由，解得λ的值，可得点Q存在，由此求得DQ的长．
【解析】
（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴S梯形BCED=（4+1）×4=10．
∴此几何体的体积V=•S梯形BCED•AC=×10×4=．--------（4分）
（2）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4），
∴=（0，-4，3），=（-4，4，0），∴=0-16+0=-16，||=5，||=4．
∴cos＜ ＞===-．
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．---------（4分）
（3）∵点Q在棱DE上，∴存在λ（0＜λ＜1）使得，
∴，
同理．
∵，∴，即0×（-4）+（-4）×（4-4λ）+（3λ+1）2=0，
解得，故满足题设的点Q存在，DQ的长为1．-------------（14分）