Question

已知数列{a_n}满足a₁=31，a_n+1=a_n+2n，n∈N₊，则的最小值是    ．

Answer

先求出其解析式，进而利用相应函数的导数求其最值即可．
【解析】
∵数列{an}满足a1=31，an+1=an+2n，n∈N+，
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+31==n（n-1）+31．
∴．
设函数f（x）=x+-1，（x≥1），则=，令f′（x）=0，则，
∴当时，f′（x）＜0，即函数f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，即函数f（x）单调递增．
∴当x=时，函数f（x）取得最小值．
根据以上函数f（x）的性质可知：对于来说，当n=6时，此式取得最小值．
故答案为．