Question

已知函数，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n），（n∈N₊）都在函数y=f（x）的图象上，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）令，证明：，n∈N₊．

Answer

（1）利用点（n，Sn），（n∈N+）都在函数y=f（x）的图象上，可得Sn=，再写一式，两式相减，即可求{an}的通项公式；
（2）求出数列{bn}的通项，利用错位相减法，即可求得{bn}的前n项和Tn；
（3）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可证明结论．
（1）【解析】
∵点（n，Sn），（n∈N+）都在函数y=f（x）的图象上，
∴Sn=
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=-[]=n+1
n=1时，也满足上式
∴an=n+1；
（2）【解析】
=
∴Tn=b1+b2+…+bn=++…+
∴Tn=+…++
两式相减可得Tn=++…+-=3--；
（3）证明：==2+（）
∴c1+c2+…+cn=2n+（++…+）=2n+
∴