Question

已知a∈R，函数f（x）=ax-lnx，，x∈（0，e]，（其中e是自然对数的底数，为常数），
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间与极值；
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）是否存在实数a，使得f（x）的最小值为3．若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1），由x∈（0，e]和导数的性质能求出f（x）的单调区间、极值．
（2）f（x）=x-lnx在（0，e]上的最小值为1，所以，由此能够证明f（x）＞g（x）+．
（3），由此进行分类讨论能推导出存在a=e2．
【解析】
（1），
∵x∈（0，e]，
由＞0，得1＜x＜e，
∴增区间（1，e）．
由＜0，得0＜x＜1．
∴减区间（0，1）．
故减区间（0，1）；增区间（1，e）．
所以，f（x）极小值=f（1）=1．
（2）由（1）知f（x）=x-lnx在（0，e]上的最小值为f（1）=1，
∵g（x）=，
∴，
由＞0，
解得0＜x≤e，
∴g（x）在 （0，e]上为增函数，
∴g（x）max=g（e）=，
∵1＞，
∴f（x）＞g（x）+．
（3），
①当a≤0时，f（x）在（0，e）上是减函数，
∴ae-1=3，a=．
②当时，f（x）=，f（x）在（0，e]上是减函数，
∴ae-1=3，a=．
③当时，f（x）在上是减函数，是增函数，
∴，a=e2，
所以存在a=e2．