Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，∠ABC=90°，N、F分别为A₁C₁、B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面NFB；
（Ⅱ）求四面体F-BCN的体积．

Answer

（I）根据直棱柱的性质及AB⊥BC，判定NF与平面BC1的垂直关系，再由线面垂直的性质判断线线垂直，然后由线线垂直⇒线面垂直．
（II）根据三棱锥的换底性求解即可．
证明：（Ⅰ）直三棱柱ABC-A1B1C1中，
B1B⊥AB，BC⊥AB，又B1B∩BC=B，
∴AB⊥平面BB1C1C．
又N、F分别为A1 C1、B1 C1的中点
∴AB∥A1B1∥NF．
∴NF⊥平面BB1C1C．
∵FC⊂平面BB1C1C．∴NF⊥FC．
∵BB1=B1F=C1F=a，∴BF=CF=a，BC=2a，
∴BF2+CF2=BC2．
∴BF⊥FC，又 NF∩FB=F，
∴FC⊥平面NFB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，NF⊥平面BCC1B1，，
=．