Question

已知椭圆E：的一个交点为，而且过点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A₁，A₂，P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

Answer

（Ⅰ）解法一：根据椭圆E：的一个交点为，过点，可得a2-b2=3，，联立即可求得椭圆E的方程；
解法二：椭圆的两个焦点分别为，利用椭圆的定义，可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，-1），设P（x，y），求出，同
设圆G的圆心为，利用，即可得到线段OT的长度；
解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，-1），设P（x，y），求出，，可得，由切割线定理可得线段OT的长度．
（Ⅰ）解法一：由题意，∵椭圆E：的一个交点为，
∴a2-b2=3，①
∵椭圆过点．
∴，②
①②解得a2=4，b2=1，
所以椭圆E的方程为．…（4分）
解法二：椭圆的两个焦点分别为，
由椭圆的定义可得，所以a=2，b2=1，
所以椭圆E的方程为．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，-1），设P（x，y），
直线PA1：，令y=0，得；
直线PA2：，令y=0，得； 
设圆G的圆心为，
则r2=，

而，所以，所以，
所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）
解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，-1），设P（x，y），
直线PA1：，令y=0，得；
直线PA2：，令y=0，得；
则，而，所以，
所以，由切割线定理得OT2=|OM|•|ON|=4
所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）