Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（≥2，且n∈N^*）
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{a_n}的前n项之和S_n，求证：．

Answer

（1）利用an=2an-1+2n（≥2，且n∈N*），两边同除以2n，即可证明数列{}是等差数列；
（2）求出数列{}的通项，即可求数列{an}的通项公式；
（3）先错位相减求和，再利用放缩法，即可证得结论．
（1）证明：∵an=2an-1+2n（≥2，且n∈N*）
∴
∴
∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列；
（2）【解析】
由（1）得
∴an=；
（3）【解析】
∵Sn=++…+
∴2Sn=++…+
两式相减可得-Sn=1+22+23+…+2n-=（3-2n）•2n-3
∴Sn=（2n-3）•2n+3＞（2n-3）•2n
∴．