Question

函数
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）若a=2，证明函数f（x）在（2，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，解不等式f（t²+2）+f（-2t²+4t-5）＜0．

Answer

（I）利用奇函数的定义即可判断出；
（II）利用函数的单调性的定义即可证明；
（III）利用奇函数的性质和单调性即可解出．
（I）【解析】
该函数为奇函数．
证明：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
且f（-x）=，
故函数f（x）为奇函数．
（II）当a=2时，f（x）=．
∀2＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）==．
∵2＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞4，即x1x2-4＞0．
∴＜0，
∴f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
（III）∵f（x）为奇函数，∴f（t2+2）＜-f（-2t2+4t-5）=f（2（t-1）2+3），
∵t2+2≥2，2（t-1）2+3＞2，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴t2+2＜2t2-4+5，
化为t2-4t+3＞0，解得t＜1或t＞3．